Álgebra Geométrica

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA

“La geometría sin álgebra es muda. El álgebra sin geometría es ciega” (David Hestenes y Garret Sobczyk)

Álgebra de Clifford
El álgebra vectorial, pese al éxito obtenido en numerosos campos de aplicación, está muy limitada:

Es poco genérica, pues solo trabaja con un tipo de objeto geométrico (el vector).
Hay definidas dos operaciones producto entre vectores (producto interno y producto externo). No hay una operación producto unificada.
No pueden realizarse operaciones como inverso de un vector, potencia, etc.

El álgebra de Clifford, también llamada “álgebra geométrica”, es un álgebra más rica y genérica que el álgebra vectorial:

Maneja objetos de diferentes rangos o dimensiones y magnitudes geométricas. Una magnitud geométrica, lo mismo que en física, se especifica mediante una cantidad (número real) y una unidad. Esta última es un objeto geométrico unitario, que puede ser de dimensión o rango 1, 2, 3, etc.
Todos los objetos posibles de un espacio de n dimensiones se generan a partir de n objetos unitarios lineales (de rango o dimensión 1), llamados “generadores”, que están asociados a cada una de las dimensiones: e₁, e₂, ... , e_n. Los generadores representan los grados de libertad del espacio geométrico y son el equivalente a la base de un espacio vectorial o magnitudes primitivas o elementales, a partir de las cuales se obtienen el resto de magnitudes (que son magnitudes derivadas).

A partir de los objetos generadores del espacio de n dimensiones (nD), se generan todos los demás objetos básicos, de dimensiones 2, 3, … , n, también unitarios. Además de estos objetos, existe el escalar unitario (1), que se interpreta como un objeto geométrico de dimensión 0 (punto geométrico).
Todos los objetos básicos (unitarios) tienen una orientación o sentido, no solo los de una dimensión (segmento lineal orientado), sino también los de dos dimensiones (segmento de plano orientado), tres dimensiones (segmento de volumen orientado), etc. Estos sentidos equivalen a los de los multivectores [ver capítulo anterior].

Especificación en MENTAL
Producto geométrico de dos vectores

El producto geométrico de dos vectores, simbolizado por “*·”, es la suma del producto interno y del producto externo de los dos vectores:

⟨( v·w = (v */vi w) + (v */ve w) )⟩

Las expresiones */vi y */ve representan los productos interno y externo de dos vectores, respectivamente.

Ejemplo


(v =: v(a1 a2)  // rep.  (a1*e1 + a2*e2)



(w =: v(b1 b2))  // rep.  (b1*e1 + b2*e2)



(v */vi w)  // ev. (a1*b1 + a2*b2)  (producto interno)



(v */ve w)  // ev. (a1*b2 – a2*b1)*e1*e2  (producto externo)



v·w  // ev. ((a1*b1 + a2*b2) + (a1*b2 – a2*b1)*e12)

siendo e12 = e1·e2 = e1*e2

Objetos geométricos en el espacio 1D

En este espacio hay 2¹ = 2 objetos geométricos básicos:

El escalar unitario (1), objeto de rango o dimensión 0.
e1, objeto de rango o dimensión 1, que es el generador del espacio.

La tabla de multiplicar (del producto geométrico) es:

·	1	e1
1	1	e1
e1	e1	1

Todos los objetos geométricos del espacio 1D son de la forma (a + b*e1), en donde a y b son escalares (números reales).

El objeto e1 se denomina también “pseudoescalar” porque al multiplicarlo por sí mismo produce un escalar.

Objetos geométricos en el espacio 2D

En este espacio hay 2² = 4 objetos geométricos básicos (unitarios):

El escalar unitario (1), objeto de dimensión 0.
e1 y e2, que son los segmentos lineales (objetos de rango 1) generadores del espacio.
e12 es un segmento plano (objeto de rango 2). Es el objeto de mayor rango y se denomina también pseudoescalar, pues al multiplicarlo por sí mismo produce un escalar).

La tabla de multiplicar de estos objetos básicos es:

·	1	e1	e2	e12
1	1	e1	e2	e12
e1	e1	1	e12	e2
e2	e2	−e12	1	−e1
e12	e12	−e2	e1	−1

En efecto, por ejemplo:


e1·e1  // ev.  (e1 */vi e1) + (e1 */ve e1)  ev.  1 + 0  ev.  1



e2·e1  // ev.  (e2 */vi e1) + (e2 */ve e1)  ev. 0−e12  ev.  −e12



e1·e12  // ev.  e1·e1·e2  ev.  1·e2  ev.  e2



e2·e12  // ev.  e2·e1·e2  ev.  −e2·e2·e1  ev.  −1·e1  ev.  −e1



e12·e12  // ev.  e1·e2·e1·e2  ev. −e2·e1·e1·e2  ev.  –e2·e2  ev.  −1

siendo (e12 =: e1·e2)

e12 se comporta como la unidad imaginaria i: (e12·e12 = −1)

Todos los objetos geométricos del espacio 2D son de la forma
a + b*e1 + c*e2 + d*e12,
en donde a, b, c y d son escalares (números reales).

Objetos geométricos en el espacio 3D

En este espacio hay 2³ = 8 objetos geométricos básicos:

El escalar unitario (1), objeto de dimensión 0.
e1, e2 y e3, que son segmentos lineales (objeto de rango 1) y generadores del espacio.
e12, e13 y e23 son segmentos planos (objetos de rango 2).
e123 es un segmento de volumen (objeto de rango 3). Es el objeto de mayor rango y se denomina también pseudoescalar.

La tabla de multiplicar es:

·	1	e1	e2	e3	e12	e13	e23	e123
1	1	e1	e2	e3	e12	e13	e23	e123
e1	e1	1	e12	e13	e2	e3	e123	e23
e2	e2	−e12	1	e23	−e1	−e123	e3	−e13
e3	e3	−e13	−e23	1	e123	−e1	−e2	e12
e12	e12	−e2	e1	e123	−1	−e23	e13	−e3
e13	e13	−e3	−e123	e1	e23	−1	−e12	e2
e23	e23	e123	−e3	e2	−e13	e12	−1	−e1
e123	e123	e23	−e13	e12	−e3	e2	−e1	−1

siendo
⟨( (eij =: ei·ej) ← i≠j )⟩

Todos los objetos geométricos del espacio 3D son combinaciones lineales de los 8 objetos básicos.

Generación recursiva de los objetos básicos

Los objetos básicos del espacio de n dimensiones se generan a partir del espacio de n−1 dimensiones añadiendo a estos el producto de ellos mismos por en:

Dimensión	Objetos básicos		Nº total
Dimensión	Del nivel anterior	Añadidos	Nº total
0		1	1
1	1	e1	2
2	1 e1	e2 e12	4
3	1 e1 e2 e12	e3 e13 e23 e123	8

Por ejemplo, a partir de 1 y e1, multiplicandolos por e2, obtenemos e2 y e12.

En general, la fórmula es:


⟨( objs(n) = ( {objs(n−1)↓ [objs(n−1)↓]·en]} ← n>0 →' {1})  )⟩

Ejemplos:


objs(0)  // ev. {1}


objs(1)  // ev. {1 e1}


objs(2)  // ev. {1 e1 e2 e12}


objs(3)  // ev. {1 e1 e2 e12 e3 e13 e23 e123}

Propiedades

Asociativa:
⟨( x·(y·z) = (x·y)·z )⟩
Distributiva respecto a la suma vectorial:
⟨( x·(y +/v z) ≡ (x·y +/v x·z) )⟩
Multiplicación por un escalar:

Conmutativa:
⟨( r*x ≡ x*r )⟩

Asociativa:
⟨( r1*(r2*x) ≡ (r1*r2)*x )⟩

Elemento unitario:
⟨( 1*x = x )⟩
Si v es un vector en el espacio nD,
v = v1*e1 + … + vn*en
entonces
v·v = v1*v1 + … + vn*vn

v² = v1² + … + vn²

Por ejemplo, en el espacio 2D,

Productos interno y externo a partir del producto geométrico

Puesto que:


x·y = (x */vi y) + (x */ve y)



y·x = (y */vi x) + (y */ve x) = (x */vi y) – (x */ve y)

se deduce que se pueden calcular los producto interno y externo a partir del producto geométrico:


⟨( (x */vi y) = (x·y + y·x)÷2 )⟩



⟨( (x */ve y) = (x·y − y·x)÷2 )⟩

Ejemplo:


(x = e1 + 3*e2)


(y = 6*e2 − 7*e3)



x·y  // ev. 6*e12 – 7*e13 + 18 – 21*e23



y·x  // ev. −6*e12 + 7*e13 + 18 + 21*e23



(x */vi y)  // ev. 18  (producto interno)



(x */ve y)  // ev. 6*e12 – 7*e13 – 21*e23  (producto externo)

Objetos inversos

El objeto inverso de un objeto x es otro objeto inv(x) tal que (x·inv(x) = 1) ó (inv(x)·x = 1).

La división entre dos objetos geométricos x e y es x·inv(y).

Los objetos inversos de los objetos básicos en el espacio 1D son:

Objeto	Inverso
1	1
e1	e1

En el espacio 2D son:

Objeto	Inverso
1	1
e1	e1
e2	e2
e12	−e12

Y en el espacio 3D:

Objeto	Inverso
1	1
e1	e1
e2	e2
e3	e3
e12	−e12
e13	−e13
e23	−e23
e123	−e123

Ejemplos:

(x = (2 + 3*e1)) // objeto de 1D (inv(x) = −2÷5 + (3÷5)*e1) // inverso de x x·inv(x) // ev. 1
(x = (2 + 3*e1 + 4*e2)) // objeto de 2D (inv(x) = −2÷21 + (3÷M21)*e1 + (4÷21)*e2) // inverso de x x·inv(x) // ev. 1

Objetos duales

Existe simetría en el número de objetos de cada rango en el espacio nD:

Rango	Número de objetos
0 (escalar)	comb(n, 0) = 1
1 (segmentos lineales)	comb(n, 1) = n
2 (segmentos planos)	comb(n, 2)
...	...
n−2	comb(n, n−2) = comb(n, 2)
n−1	comb(n, n−1) = comb(n, 1) = n
n (pseudoescalar)	comb(n, n) = 1

siendo comb(n, k) las combinaciones de n elementos tomados de k en k. Por ejemplo, para n = 3: 1, 3, 3, 1. Y para n = 4: 1, 4, 6, 4, 1.

Es decir, hay el mismo número de objetos del mínimo y del máximo rango, del rango siguiente al mínimo y anterior al máximo, etc.

La operación dual permite relacionar los objetos de rango r con los del rango complementario n−r y se define de la manera siguiente: el objeto dual de un objeto x es el objeto dual(x) tal que x·dual(x) es el objeto geométrico de máximo rango.

En el caso del espacio 3D, (x·dual(x) = e123)

Multiplicando ambos lados por inv(x), se tiene:
(dual(x) = inv(x)·e123)

Los objetos duales de los objetos básicos en el espacio 3D son:

Objeto	Dual
1	e123
e1	e23
e2	−e13
e3	e12
e12	e3
e13	−e2
e23	e1
e123	1

Propiedades:

⟨( x·dual(x) = (e 1…n) )⟩ // para todo objeto de nD ⟨( x·dual(x) = e123 )⟩ // para todo objeto de 3D
⟨( dual(x) = inv(x)·(e 1…n) )⟩ // para todo objeto de nD ⟨( dual(x) = inv(x)·e123 )⟩ // para todo objeto de 3D
⟨(dual(dual(x)) = x )⟩

Ejemplo:


(x = (2 + 3*e1 + 4*e2))



(inv(x) = &minis;221 + (3÷21)*e1 + (4÷21)*e2)  // inverso de x



dual(x) = inv(x)·e12  // ev. –(2÷21)*e12 + (3÷21)*e2 – (4÷21)*e1)



x·dual(x)  // ev. e12

Reverso de un objeto

El reverso de un objeto de orden 0 ó 1 es el mismo objeto. El reverso de un objeto de la forma x·y es y·x.

Definición: ⟨( (x·y)∼ = y·x )⟩

Para obtener la expresión reversa de los objetos básicos, basta con especificar los índices de los objetos de rango mayor o igual que 2 en orden inverso (lo que equivale a cambiarlos de signo).

Objeto	Reverso
1	e123
e1	e23
e2	−e13
e3	e12
e12	e21 = −e12
e13	e31 = −e13
e23	e32 = −e23
e123	e321 = −e123

Ejemplo:


(x = (3 + 7*e2 − 6*e13 + e123))     


x∼  // ev. (3 + 7*e2 + 6*e13 − e123)

Por definición. la norma de un objeto x (generalización del módulo de un vector) es la raíz cuadrada de la parte escalar de x·(x∼). Por ejemplo:


(x = 3*e1 + 4*e12)


(x∼ = 3*e1 − 4*e12)


x·(x∼)  // ev. 25 + 24*e2  (la norma es 5)

Idempotencia y nulpotencia

Un objeto geométrico idempotente es el que tiene la propiedad: (x·x = x). Ejemplos:

(x =: (1÷2)*(1+e1)) x·x // ev. x
(x =: (1÷)*(1+e13)) x·x // ev. x

Un objeto geométrico nulpotente es el que tiene la propiedad: (x·x = 0). Ejemplo:


(x = e2·(1+e1))


x·x  // ev. 0

Números complejos como objetos geométricos

Hemos visto que el objeto básico e12 en un espacio 2D se comporta como la unidad imaginaria. Por lo tanto, en 2D, el álgebra geométrica reproduce las propiedades de los números complejos, pero haciendo referencia únicamente a objetos geométricos.

El objeto de grado 2 (z = (a + b*e12)) equivale al número complejo (z = (a + b*i)), siendo i la unidad imaginaria (i*i = −1).
El reverso del objeto geométrico z es el número complejo conjugado:

(a + b*e12)∼ = (a + b*e21) = (a – b*e12)
Al multiplicar por e12 un objeto lineal, el resultado es el mismo objeto rotado 90º (contra reloj). Si la multiplicación es en sentido contrario, la rotación es como reloj:

Álgebras de Clifford alternativas

El álgebra de Clifford presentada hasta aquí es una de las posibles que pueden definirse. El álgebra Clifford parametrizada, simbolizada por Cl(p, q), en el espacio nD, en donde p+q = n representa al álgebra en el que p objetos lineales básicos (vectores básicos) ei cumplen e_i² = +1 y q vectores básicos e_j cumplen e_j² = −1 .

El álgebra geométrica estudiada hasta ahora es Cl(n, 0), siendo n la dimensión del espacio.

Cl(0, 0) es el álgebra de los números reales.
Cl(0, 1) es el álgebra de los números complejos.
Cl(0, 3) es el álgebra de los cuaterniones de Hamilton.

Ventajas del álgebra geométrica

El álgebra geométrica tiene grandes ventajas sobre el álgebra vectorial:

Unifica y generaliza múltiples conceptos: vectores, tensores, matrices, números complejos, cuaterniones, así como diferentes álgebras formales: sintética, proyectiva, de Pauli, Dirac y spinor.
Es más potente. Gran parte de su potencia reside en sus posibilidades operativas con los objetos geométricos.
Reduce la complejidad, pues permite expresar magnitudes y relaciones físicas y geométricas de forma conceptual, compacta y eficiente.
Permite representar todo objeto geométrico del espacio como combinación lineal de los objetos básicos.
No requiere necesariamente un sistema de representación ni usar coordenadas.
Permite operar con objetos de diferentes dimensiones.
Favorece el descubrimiento de nuevas estructuras matemáticas.

Además, el álgebra geométrica está ligada a la conciencia, al unir las dos operaciones duales de producto escalar y producto vectorial mediante la suma de ambas operaciones.

Adenda
Breve historia de las álgebras geométricas

El concepto de álgebra geométrica se remonta a 1797 cuando Caspar Wessel interpretó la unidad imaginaria como elemento unidad de otra dimensión, representándolo perpendicular a la recta real. De esta idea surgieron los números complejos, con dos dimensiones (la real y la imaginaria).

En 1843, William Rowen Hamilton presentó el álgebra de cuaterniones, generalización de los números complejos para 4 dimensiones. Este álgebra contiene 4 elementos (1, i, j, k) con las propiedades: i² = j² = k² = ijk = −1. Los cuaterniones fueron el germen del concepto de vector y han sido de utilidad para representar rotaciones en el espacio 3D.

En 1844, Hermann Grassmann publica “Teoría de la Extensión Lineal”, una teoría de las magnitudes geométricas extensivas.

En 1878, Clifford unificó y generalizó las álgebras de Hamilton y Grassmann, presentando su propia álgebra geométrica. Por ser el álgebra geométrica más genérica, el álgebra de Clifford se denomina simplemente “álgebra geométrica”.

En los años 1880s, Gibbs presentó su álgebra de vectores, que por su claridad y simplicidad tuvo un gran éxito, quedando en el olvido el álgebra de Clifford.

En 1920, el álgebra de Clifford resurgió como álgebra subyacente del espín cuántico.

En los 1960s David Hestenes impulsó y divulgó el álgebra de Clifford como lenguaje unificado para la matemática, la física y la ingeniería. Actualmente ha cobrado una gran importancia como alternativa al álgebra vectorial, matricial y tensorial. Se está utilizando en numerosas áreas: cosmología, física cuántica y electromagnética, CAD (diseño asistido por ordenador), visión por ordenador, robótica, redes neuronales, etc.

El álgebra de Clifford es especialmente útil en física teórica, pues muchas de sus formulaciones tienen una interpretación geométrica, aportando modelos conceptuales más claros y comprensibles y generalizando expresiones vectoriales, tensoriales y matriciales. Además, los números complejos que aparecen en las formulaciones tienen también una interpretación geométrica natural. Algunos ejemplos son:

Electromagnetismo. Las ecuaciones de Maxwell, que en notación vectorial son cuatro ecuaciones, se reducen a una sola el álgebra de Clifford. En esta ecuación aparece un vector electromagnético completo, es decir, con sus componentes (eléctrico y magnético) integrados.
Teoría de la relatividad. La geometría del espacio-tiempo de la teoría de la relatividad se puede describir con geometría 3D de forma más sencilla que con geometría 4D. Esto se logra definiendo el producto geométrico con e₁*e₁ = −1 en lugar de e₁*e₁ = 1, pues e₁ se comporta como una dimensión temporal en lugar de espacial.
Física cuántica. Las álgebras de Clifford son muy útiles para la definición de espinores. Los espinores hicieron su aparición con la famosa ecuación de Dirac, en 1928. Un espinor es un objeto imaginario que se transforma en su negativo cuando sufre una rotación completa (2π). Una rotación de 4π devuelve al objeto a su estado original.

Bibliografía

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Clifford, William Kingdon (autor); Stephen, Leslie (ed.); Pollock, Frederick (ed.). Lectures and Essays. Cambridge University Press, 2011.
Doren, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Álgebra for Physicists. Cambridge University Press, 2003.
Dorst, Leo; Fontijne, Daniel; Mann, Stephen. Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry. Morgan Kaufmann, 2007.
Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer, 1997.
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Hestenes, David. Space-Time Algebra. Gordon & Breach, New York, 1967.
Hestenes, David y Sobczyk, Garret. Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Springer, 1987. ). (Es muy teórico. Cubre el álgebra y cálculo de multivectores de cualquier dimensión).
Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics. Springer, 1999. (Proporciona buenos ejemplos sobre la aplicación del álgebra geométrica a la mecánica de los cuerpos sólidos).
Jancewicz, Bernard. Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics. World Scientific Pub. Co. Inc., 1989. (Incluye un capítulo introductorio dedicado a los multivectores y al álgebra Clifford en el espacio 3D).
Lasenby, Joan; Lasenby, Anthony N. Doran; Chris, J.L. A unified mathematical language for phisics and engineering in the 21st century. Phil. Trans. Royal Society, London. A, 358, pp. 21-39, 2005. Disponible online. (Es una introducción al álgebra geométrica.)
Snygg, John. Clifford Algebra: A Computational Tool for Physicists. Oxford University Press, 1997.